0 引言[一级标题为黑体小三]

[一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]

Picard逐次逼近法在数学理论及数值计算中有及其广泛的应用, 如求证微积分方程的解的存在唯一性, 求取微积分方程的近似解等. 在文[2-4]中, 他们利用Picard逐次逼近法证明了一阶常微分(积分)方程解的存在性, 文[6-9]主要介绍了Picard逐次逼近法的一些应用和推广方面的研究. 对于隐函数的存在性定理, 文[1]中采用分析的方法证明了这一定理. 邹添杰在[5]中通过附加了Lipchitz条件, 利用Picard逐次逼近法给出了一维隐函数存在定理的证明. 本文利用Picard逐次逼近法证明了高维情形隐函数的存在性定理, 同时为高维隐函数的近似求法提供一种方法.

[一级标题在正文中间时, 前面需空一行宋体小四号]

1 隐函数定理

[一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]

首先假设隐函数

满足

(i)

在

:

,

(

)上具有对一切变量的连续偏导数;

(ii)

;

(iii)

;

(iv) 在

上

关于

满足Lipchitz条件: 即对

上任意两点

,

不等式

公式编号左对齐(1.1)

恒成立,

为与

和

无关的正常数(Lipchitz常数). 则有

(i) 在点

的某一邻域

内, 方程

唯一确定一个函数

,

且满足

;

(ii)

在

内连续;

(iii)

在

内对各个变量有连续偏导数, 且

, (

) (1.2)

其中

,

.

2 隐函数定理证明过程

下面将运用Picard逼近法对定理作出证明.

证明 若

在

内能唯一确定可导的函数

, 且满足

以及

, 即等价于以下的初值问题:

(2.1)

在

内有唯一解

且

. 简记

,

(2.2)

下面将按照Picard逐次逼近法的四个步骤予以证明.

[二级标题需空两个中文字符, 前面空一行宋体小四号]

2.1 构造picard近似函数序列[二级标题为黑体四号]

首先构造一个Picard近似函数序列.

用满足

的函数

(2.3)

代替

中的

, 则

(2.4)

其右边是

在

中的已知函数. 对(2.4)两边关于

积分(很明显

在

内连续, 故可积), 并令它满足

.

于是得到关于

的一次近似

(2.5)

(其中

)在

内连续.

再将

代入(2.5)的右边就得到关于

的二次近似

(2.6)

(其中

)在

内连续.

如此下去, 我们可以得到

次近似解

(2.7)

(其中

)在

内连续.

为了保证上述逐次逼近可以一直进行下去, 要证明当

时, 有

,

. 因为

应该保持在

之中. 如果某个

超越出了

, 由于函数

只能保证在

内有定义, 由(2.7)可以看到

次近似

就不能保证在

上存在了.

以下将用数学归纳法予以证明.

易知在区间

上函数满足

. 若函数

在此区间上满足

, 由(2.7)式有

.

从而有

. (2.8)

由于已经假定在区间

上

. 所以根据定理的条件(i)以及

就有

. (2.9)

由此, 我们在区间

上按逐次逼近法得到了一个连续序列:

,

,

,

,

,

2.2 证明收敛性

下面证明近似序列

在邻域

内一致收敛. 为此我们考察以下函数级数

(2.10)

其部分和为

所以说, 如果函数项级数(2.10)在

内一致收敛, 则表明

存在. 为证明级数收敛, 我们首先来估计级数各项的绝对值.

首先

,

故

(2.11)

由一次近似和二次近似的定义以及定理条件满足Lipchitz条件, 我们有

下面我们运用数学归纳法来证明不等式

. (2.12)

对于任意一个自然数都成立, 当

时我们已经证明不等式成立. 现在假设对于自然数

不等式(2.12)成立, 下面证明对于

不等式也成立. 于是我们有

(2.13)

由归纳假设(13), 我们有

. (2.14)

由于

, 故级数(2.10)自第二项开始, 每一项绝对值都小于正项级数

的对应项.

而上面这个正项级数显然是收敛的, 故由优级数判别法, 级数(2.10)在邻域

内不仅收敛, 而且是一致收敛的. 设其和函数为

, 因为近似函数序列

在邻域

内连续, 因而所得一致收敛函数的极限函数

亦连续.

2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解

下一步证明

是初值问题(2.1)的解首先我们在Lipchitz条件下作以下估计

. (2.15)

由于函数序列

在邻域

内一致收敛, 故对于任意给定的

, 存在自然数

, 当

时, 对于邻域

内所有

(

)恒有

,

从而

.

由此可知

. (2.16)

即

. (2.17)

从而我们对等式(8)分别两端极限有

. (2.18)

亦即

即有

(2.19)

其中

.

2.4 证明解的唯一性

最后我们来证明(2.1)的解的唯一性.

假设

与

都是(2.1)的解，于是就有其公共区域为

，由前面的第三步有

.

(2.20)

和

.

(2.21)

由(2.20)和(2.21)得

其中

. 记

(2.22)

其中

,

. 于是上述式子可以写成

两边乘以

, 有

两边从

到

积分, 且由

得

,

又

, 故

.

又由(2.22)知

,

所以

.

同理可证当

时

.

综上所述当

时,

,

求导得到

,

即

,

其中

. 这就证明了满足(2.1)的解只有一个.

由证明开头的分析及Picard逐次逼近法的几个步骤知道,

在

内唯一确定一个函数

, 且满足

, 同时

在

内连续. 到此定理证明完毕!

致谢 本文是在李松华博士的指导和帮助下完成的, 在此对李老师表示衷心的感谢!

注:

1. 论文的页面设置请参阅《毕业论文工作手册》P24, 三级标题用黑体小四不空行;

2. 论文中的公式编号统一采样“(一级标题序号.公式序号)”格式且右对齐, 如上面论文中的公式

3. 论文中的“定义, 性质, 引理, 定理”等都用黑体小四, 统一采样“一级标题序号.本类序号”的编号, 如

定义1.1 设

是一个

阶矩阵,

是

中的元素

的代数余子式, 则称

为

的伴随矩阵.

定理2.2

(

）, 且

.

证明 当

时,

, 则

.

4. 论文中的“例题, 解”都用黑体小四, 统一采样“本类序号”的编号, 如

例13 将

在

内展开为Laurent级数.

解 因为

, 所以由

,可得

,

,

5. 论文中的“表”都用黑体五号, 居中或文字环绕，表头统一采样“本类序号”的编号且放在表头居中, 表中的文字统一要求采用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman, 例如

表 3

字段名	说明	数据类型	Not Null	字段大小	备注
Id	主键	char	Yes	10	教师代码
Username		char	Yes	10	教师用户名

6. 论文中的“图”都用黑体五号, 居中或文字环绕，统一采样“本类序号”的编号且放在图下面, 例如

图 13

[参考文献另起一页, 且前空一行宋体小四]

参考文献[黑体小三居中]

[后空一行宋体小四,文献部分用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman]

[1] 陈传璋, 金福临, 朱学炎. 数学分析(上、下册) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1983.

[2] 东北师大微分方程教研室. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[3] 王高雄，周之铭，朱思铭. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[4] 郭迎娜, 赵军. 关于一个积分方程解的存在唯一性证明[J]. 安阳工学院报, 1(2006), 71-74.

[5] 邹添杰. 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用[D]. 广州: 中山大学05级数学与应用数学基地班.

[6] 何昌，孙昭洪. 一类非线性算子方程解的迭代逼近 [J]. 四川大学学报（自然科学版）, 3(2003)，430-433.

[7] 李文荣. 一类迭代微分方程的Picard型定理[J]. 滨洲学院报，22:6(2006), 1-4.

[8] 陈祥都, 刘数堂. 用Picard迭代法解约束绳索动点坐标的数学说明[J]. 东北电力学院报, 16:2(1996), 46-55.

[9] 许晓婕, 杨 帆. 一阶隐式微分方程问题迭代法[J]. 松辽学刊(自然科学版) , 3(2001), 1-4.

[10] 苏永福, 李素红. Ishikawa 迭代的稳定性及与Picard迭代的关系[J]. 天津大学报(自然科学版), 25:3(2005), 35-37.

[11] David Carother, William Ingham and James Liu. An Overview of the Modified Picard method. Department of Mathematics and Statistics, Physics james Madison University, Harrisonburg, VA 22807.

[12] Kuo K-S, Weger R. C. and Welch R. M., The Picard iterative approximation to the solution of the integral equation of radiative transfer-part I. The plan-parallel case. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 53:20(1995), 425-444.

特别注意参考文献的格式

期刊文献：[序号]作者．文献题名[J]．期刊名，卷:期(出版年), 起止页码A-B．（如上面文献[7]）

专著文献：[序号]作者．书名[M]．出版地：出版社，出版年．起止页码A-B (可选)．

其余参考文献类型请参阅《毕业论文工作手册》P28.